树状数组：高效单点修改及区间查询的数据结构===
树状数组：高效单点修改及区间查询的数据结构
树状数组又称二进制索引树，是一种高效的数据结构，专门用于解决单点修改和区间查询的问题。它利用了二进制数的特性，以 O(log n) 的时间复杂度进行单点修改和区间查询，在许多实际应用中具有显著的优势。
树状数组的原理与实现
树状数组的原理是将一个一维数组映射到一颗完全二叉树上。每个结点存储一个区间内的元素和，通过将区间划分为更小的区间，可以高效地更新和查询树状数组。实现树状数组的关键在于利用低位二进制的性质，通过按位操作即可快速确定结点在二叉树中的位置，从而达到 O(log n) 的时间复杂度。
单点修改
单点修改是指更新数组中某个元素的值。在树状数组中，单点修改可以通过从该元素对应的结点开始，向上遍历二叉树，逐层更新父结点的区间和。通过按位操作，可以快速确定父结点的范围，从而实现 O(log n) 的修改时间复杂度。
区间查询
区间查询是指查询数组中某个区间内元素的和。在树状数组中，区间查询可以通过从该区间对应的结点开始，向下遍历二叉树，逐层累加子结点的区间和。同样利用按位操作，可以快速确定子结点的范围，从而实现 O(log n) 的查询时间复杂度。
总结===
树状数组是一种高效的数据结构，适用于单点修改和区间查询的问题。它的原理基于二进制数的特性，通过将一维数组映射到完全二叉树上，利用按位操作可以实现 O(log n) 的时间复杂度。树状数组广泛应用于各种领域，如动态规划、数据压缩和区间合并等。